關(guān)于二次函數(shù)的知識點總結(jié)
導(dǎo)語：二次函數(shù)的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。下面是由小編整理的關(guān)于二次函數(shù)的知識點總結(jié)。歡迎閱讀！
二次函數(shù)的知識點總結(jié)
1、二次函數(shù)及其圖像
二次函數(shù)(quadraticfunction)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。
一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
一般式
y=ax∧2；bxc(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標(biāo)為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a)；
頂點式
y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標(biāo)為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；
交點式
y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線]；
重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式(已知三點求函數(shù)解析式)
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導(dǎo)出交點式的系數(shù)a=y1/(x1*x2)(y1為截距)
求根公式
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量，y是x的二次函數(shù)
x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式)
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=2x的平方的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函數(shù)圖像
如果所畫圖形準(zhǔn)確無誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數(shù)。
2、畫出對稱軸，并注明X=什么
3、與X軸交點坐標(biāo)，與Y軸交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)。拋物線的'性質(zhì)
軸對稱
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
頂點
2.拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P(-b/2a，4ac-b^2；)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2；-4ac=0時，P在x軸上。
開口
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號
當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。
決定拋物線與y軸交點的因素
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
拋物線與x軸交點個數(shù)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個式子除以2a)
當(dāng)a>0時，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數(shù)，在
{x|x>-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變
當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當(dāng)x=1時y=abc
②當(dāng)x=-1時y=a-bc
③當(dāng)x=2時y=4a2bc
④當(dāng)x=-2時y=4a-2bc
2、二次函數(shù)的性質(zhì)
8.定義域：R
值域：(對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，
正無窮)；②[t，正無窮)
奇偶性：當(dāng)b=0時為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時為非奇非偶函數(shù)。
周期性：無
解析式：
①y=ax^2bxc[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0，圖象與x軸交于兩點：
([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0)；
Δ=0，圖象與x軸交于一點：
(-b/2a，0)；
Δ<0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2k[頂點式]
此時，對應(yīng)極值點為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)
對稱軸X=(X1X2)/2當(dāng)a>0且X≧(X1X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當(dāng)a>0且X≦(X1X2)/2時Y隨X的增大而減小，此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。
交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標(biāo)設(shè)交點式。兩交點X值就是相應(yīng)X1X2值。
用函數(shù)觀點看一元二次方程
1.如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是，那么當(dāng)時，函數(shù)的值是0，因此就是方程的一個根。
2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根。
實際問題與二次函數(shù)
在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。
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