函數教學教案
1、函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。判斷函數的奇偶性有時可以用定義的等價形式: , 。
2、若函數 既是奇函數又是偶函數,則 恒等于零,這樣的函數有無數個。
3、如果點 是原函數圖象上的點,那么點 就是其反函數圖象上的點。
4、反函數的相關性質:
(1)互為反函數的兩個函數具有相同的的單調性,單調區間不一定相同;
(2)定義域上的單調函數必有反函數;(函數單調只能作為存在反函數的充分條件)
只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數才有反函數。(存在反函數的充要條件)
(3)奇函數的反函數也是奇函數。偶函數不存在反函數(定義域為單元素集的偶函數除外);
(4)周期函數不存在反函數;
(5)若 是連續單調遞增函數,則" 與 的圖象有公共點" " 的圖象與直線 有公共點" "方程 有解";
(6)若 為增函數,則 與 的圖象的交點必在直線 上;
(7)函數 的圖象與函數 的圖象關于直線 對稱;
(8)函數 與 的圖象關于直線 對稱。
5、兩個函數相同,當且僅當它們的定義域和對應法則分別相同。
6、 對 恒成立 或 其中 。
7、二次函數的三種表現形式:
(1)一般式 ;
(2)頂點式: 其中 為拋物線頂點坐標;
(3)零點式: 其中 、 為拋物線與 軸兩個交點的橫坐標。
8、不等式中的恒成立問題與不等式的有解問題對比:
(1) 在 的定義域上恒成立 ;
(2) 在 的定義域上恒成立 ;
(3) 在 的定義域上有解 ;
(4) 在 的定義域上有解 。
某些恒成立問題有時通過分離變量(在等式或不等式中出現兩個變量,其中一個變量的范圍已知,另一個為所求,這時可通過恒等變形將兩個變量分置于等號或不等號兩邊)將恒成立問題轉化為函數在給定區間上的最值問題,從而求解。
9、對于函數中的恒成立問題補充兩點說明:
(1)若 恒成立,則M不一定為 的最大值。若 恒成立,則不一定為 的最小值;
(2)若 恒成立,則 為的最大值,若 恒成立,則 為的最小值。
10、函數 的最小值為 。
11、重要工具函數 的性質:不妨設
(1) 時,函數在區間 上單調遞增;
(2) 時,函數在區間 上單調遞減,在區間 上單調遞增。
12、關于函數對稱性,奇偶性與周期性的關系:
類型之一:線線型 周期性
(1)若函數 在 上的圖象關于直線 與 都對稱,則函數 是 上的周期函數, 是它的一個周期。
(2)若函數 為偶函數,且圖象關于直線 對稱,則 為周期函數, 是它的一個周期。
類型之二:點線型 周期性
(1)若函數 在 上的圖象關于點 和直線 都對稱,則函數 是 上的周期函數, 是函數 在 上的一個周期。
(2)若函數 為偶函數,且圖象關于點 成中心對稱,則函數 為周期函數, 是它的一個周期。
(3)若函數 為奇函數,且圖象關于直線 對稱,則 為周期函數, 是它的一個周期。
類型之三:點點型 周期性
(1)若函數 在 上的圖象關于相異兩點 、 都對稱,則函數 是 上的周期函數, 是它的一個周期。
(2)若函數 為奇函數,且圖象關于點 成中心對稱,則函數 為周期函數, 是它的一個周期。
13、由函數方程推導函數周期的常見類型:
(1)若函數 滿足 ,則 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(2)若函數 滿足 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(3)若對于任意一個實數 ,都有 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(4)若對于任意一個實數 ,都有 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(5)定義在 上的函數 ,若存在非零正實數 ,對于一切 ,都有 ,則 是以 為周期的函數。
(6)定義在 上的函數 ,若存在非零正實數 ,對于一切 ,都有 ,則 是以 為周期的函數。
(7)定義在 上的函數 對于 都有 ,則 是以6為周期的函數。
(8)定義在 上的函數 對于 都有 ,則 是以6為周期的函數。
(9)若 是函數 的任意一個周期,則 的相反數 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期,且 ,則 也是 的周期。
說明:對于(1)~(5),其代換函數,有如下特點:原函數與反函數相同,代換兩次能夠還原。如: 都是原函數與反函數相同的函數,即 。可見本章-24。
14、函數圖象的自身對稱問題:
(1)偶函數的圖象關于軸對稱;(軸對稱)
(2)奇函數的圖象關于原點對稱;(中心對稱)
(3)定義在 上的函數 ,若滿足 ,則函數 的圖象關于直線 對稱;( ,即:"取平均值",與的值無關)
(4)定義在 上的函數 ,若滿足 ,則函數 的圖象關于點 中心對稱;
(5)定義在 上的函數 ,若滿足 (或 ),則函數 的圖象關于點 中心對稱。
15、兩函數圖象間的對稱問題:
(1)定義在 上的函數 與函數 的圖象關于直線 對稱;(其對稱軸方程 由 解得,與的值有關)
(2)定義在 上的函數 與函數 的圖象關于點 中心對稱;
(3)定義在 上的函數 與函數 的圖象關于點 中心對稱;
(4)特別地：
①函數 關于x軸對稱的函數為:
②函數 關于軸對稱的函數為:
③函數 關于原點對稱的函數為:
④函數 關于 對稱的函數為:
⑤函數 關于 對稱的函數為:
⑥函數 關于直線 軸對稱的函數為: ;
⑦函數 關于直線 軸對稱的函數為: ;
⑧函數 關于點 中心對稱的函數為: 。
16、若函數 為奇函數,且定義域為 ,則必有 。若函數 是偶函數,那么 。
17、基本的函數圖象變換:
(1)要作 的圖象,只須將 的圖象向上( 時)或向下( 時)平移 個單位;
(2)要作 的圖象,只須將 的圖象向右( 時)或向左( 時)平移 個單位;
(3)要作 的圖象,可先作函數 的圖象,然后將 軸上方部分保持不變, 軸下方部分沿 軸對稱上翻即可;
(4)要作 的圖象,只需保留 在 軸右邊的圖象(擦去 軸左邊的圖解),然后將 軸右邊部分對稱地翻折到左側即可。(注意 是偶函數)。
(5)要作 的圖象,只須將 的圖象作關于直線 對稱,也可以將 的圖象先作關于軸對稱,再向右( 時)或向左( 時)平移 個單位;
18、對稱軸的斜率為 時的對稱變換:
(1)曲線 關于直線 的對稱曲線為 ;
(2)曲線 關于直線 的對稱曲線為 ;
(3)點 關于直線 的對稱點為 ;
(4)點 關于直線 的對稱點為 。
19、函數 按向量 平移后的函數表達式為: ;
20、判斷 符號可以1為分界點,當 在1的同側( 或 )時, ;當 在1的兩側時, 。可以概括為:"同向為正,異向為負"
21、關于函數 的定義域為 或值域為 的問題:
(1)若其定義域為 ,則須 在 上恒成立,問題等價為:或 其中 ;或 其中 。
22、當且僅當 時,函數 與函數 的圖象相切于直線 上的點 。
23、一次分式函數 的相關性質:
(1)定義域: ;
(2)值域: ;
(3)圖像:雙曲線線;
(4)漸近線: ;
(5)對稱中心: ;
(6)單調性:①當 , 單調遞減, 單調遞減;
②當 , 單調遞增, 單調遞增;
特別地:當 ,即 時,函數 和其反函數 為同一函數。也即函數 的圖像關于直線 對稱。
24、用函數方程法求函數解析式應注意的問題
一般地,形如: ,其中 已知,要求 的解析式,通常的做法為:用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,則可以得到: ,再將此式與原式聯立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的關鍵在于: ,此式說明 必滿足,原函數與反函數為同一函數。例如: , , 等。
25、抽象函數中的相關問題
(1)奇偶性的判斷
①若 ( ),則 為奇函數;
②若 ( ),則 為奇函數;
③若 ( ),則 為偶函數;
④若 ( ),則 為奇函數;
⑤若 ,則 為偶函數。
(2)單調性的判斷
① ;(作差比較函數值)
② 。(作差比較函數值)
26、求函數值域的類型與方法歸類
(1)直接法,直接觀察,根據式子的結構特征得出值域。
(2)配方法,適用于二次型函數: 。
(3)反函數法,分離x或關于x的表達式,求的范圍,形如: 等形式。
(4)判別式法,適用于二次分式函數: 。
(5)均值不等式法,適用于: ,注意一正二定三相等。
(6)換元法,適用于: ,可令 則 ,轉化為二次型。
三角換元法,含 結構的函數中可 。
(7)單調法,利用導數求得函數的單調區間和極值,得到值域。
(8)數形結合法,轉化成相應的幾何意義,如:距離,斜率,角度等。
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