向量的概念及表示教學(xué)教案
作為一名教師，很有必要精心設(shè)計(jì)一份教案，教案是實(shí)施教學(xué)的主要依據(jù)，有著至關(guān)重要的作用。那么優(yōu)秀的教案是什么樣的呢？以下是小編精心整理的向量的概念及表示教學(xué)教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
向量的概念及表示教學(xué)教案 1
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個(gè)向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等。
一、知識梳理
1．?dāng)?shù)量：僅用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示的量叫數(shù)量。如距離、時(shí)間、面積等。
2． 向量： 叫向量。如物理中的位移、速度、力等。
3．向量的表示：常用一條有向線段來表示，
有向線段的長度表示向量的大小，箭頭表示所指的方向。
以A為起點(diǎn)。以B為終點(diǎn)的向量記為 ，也可以用 來表示。如
注：兩個(gè)向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小。
4．向量 的 叫向量的模。記為
5．特殊向量：零向量：
單位向量：
6．平行向量：
規(guī)定：零向量與任一向量平行
7．相等向量：
8．共線向量：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上。 故平移向量又稱共線向量
9．相反向量：我們把與 的向量叫做 的相反向量-
規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量
二、基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．下列各題中，哪些是數(shù)量，哪些是向量？
質(zhì)量，密度，角，位移，距離，浮力，速度，功，加速度，溫度，電流強(qiáng)度，濃度，向心力
2．判斷下列說法是否正確，并說明理由。
（1）溫度有零上和零下之分。所以溫度是向量 （ ）
（2） =0 （ ）
（3）共線向量就是平行向量 （ ）
（4）若 ， 為非零向量，且 = ，則 = （ ）
（5）若 =- 則 ∥ （ ）
（6）對任意向量 ， ， ，若 = ， = ，則 = （ ）
（7）對任意向量 ， ， ，若 ∥ ， ∥ ，則 ∥ （ ）
（8）平行向量方向一定相同 （ ）
（9）共線向量一定在同一條直線上 （ ）
（10）若 = 則 ∥ （ ）
三、典型例題
例1．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標(biāo)出的向量中；
（1）試找出與 共線的向量
（2）確定與 相等的向量
（3） 與 相等嗎？
例2、如圖，△ABC和△ 是在各邊的 相交的
兩個(gè)全等的正三角形，設(shè)正△ABC的邊長為a，圖
中列出了長度均為 的若干個(gè)向量。
求：（1）與 相等的向量；
（2）與 共線的向量；
（3）與 平行的向量。
例3、在圖4 5的方格紙中有一個(gè)向量 ，分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，其中：
（1）與 相等的向量有多少？
（2）與 長度相等的共線向量有多少？
(3) 與 共線的向量有多少？（ 除外）
三．課后作業(yè)：
1、下列命題中，正確的是
A B
C D
2、下列命題中真命題為
①向量 的長度與向量 的'長度相等；
② ，則 的方向相同或相反；
③兩個(gè)有共起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；
④兩個(gè)有共起點(diǎn)且相等的向量，一定是共線向量；
⑤ 與 是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一直線上；
⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段。
3、設(shè)O為 的重心，則 是
A 相等向量 B 平行向量 C 模相等向量 D 終點(diǎn)相同的向量
4、設(shè)ABCD為正方形，則可用同一條有向線段表示的兩個(gè)向量為
A 和 B 和 C 和 D 和
5、若 是兩個(gè)不平行的非零向量，并且 ，則 =
6、已知ABCD為菱形， =1， ，求 ，
7、在梯形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為腰AB、DC的三等分點(diǎn)，且 =2， =5，求 。
8、在直角坐標(biāo)系中，畫出下列向量：
（1） =2， 的方向與x軸正方向的夾角為 ，與y軸正方向的夾角為 ；
（2） =4， 的方向與x軸正方向的夾角為 ，與y軸正方向的夾角為 ；
（3） =4 ， 的方向與x軸正方向的夾角為 ，與y軸正方向的夾角為 ；
9、如圖，D、E、F分別是 的三邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，以A、B、C、D、E、F中的一點(diǎn)為始點(diǎn)，而另一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量中：
（1）寫出與 相等的向量；
（2）寫出與 共線的向量。
10、如下圖，每格點(diǎn)邊長為0.5，以圖中各格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量 相等的向量共有幾個(gè)？與向量 平行且模為 的向量共有幾個(gè)？與向量 方向相同且模為 的向量共有幾個(gè)？
11、一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北 走了200公里到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)D點(diǎn)。
（1）作出向量 ；
（2）求 。
算法案例
1.3 案例算法
案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)
1、在對16和12求最大公約數(shù)時(shí)，整個(gè)操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，4），由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是（ ）
A、 4 B、 12 C、 16 D、 8
2、下列各組關(guān)于最大公約數(shù)的說法中不正確的是（ ）
A、16和12的最大公約數(shù)是4 B、78和36的最大公約數(shù)是6
C、85和357的最大公約數(shù)是34 D、105和315的最大公約數(shù)是105
3、我國古代數(shù)學(xué)家求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法，被稱為 ，又稱為
4、運(yùn)算速度快是計(jì)算機(jī)一個(gè)很重要的特點(diǎn)，而算法好壞的一個(gè)重要標(biāo)志是
5、算法
Ｓ１ 輸入，ｘ，ｙ
Ｓ２ ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}
Ｓ３ ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}
Ｓ４ 若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整數(shù)部分）
則輸出ｎ，否則執(zhí)行Ｓ５
Ｓ５ ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎ
Ｓ６ ｍ＝ｎ
Ｓ７ ｎ＝ｒ
Ｓ８ 執(zhí)行Ｓ４
Ｓ９ 輸出ｎ
上述算法的含義是 。
6、試寫出一個(gè)算法，并畫出流程圖，使得能夠輸入n個(gè)正整數(shù)值，即可求出它們的最大公約數(shù)。
7、用當(dāng)型和直到型語句，寫出求兩正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法程序。
8、求兩個(gè)整數(shù)ｘ（ｘ≥０）和ｙ（ｙ＞０）的整數(shù)商和余數(shù)（規(guī)定只能用加法和減法運(yùn)算）。
9、試用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù)。
參考答案
1.A
2.C
3、更相減損之術(shù) 等值算法
4、運(yùn)算次數(shù)
5、求ｘ，ｙ的最大公約數(shù)
6、略解：
Read n ,a
For i=2 to n
Read b
If a
Do
r=mod(a,b)
a=b:b=r
Loop Until r=0
If a=1 then prind a
Goto End
Next i
Print a
End
7、
INPUT ｍ，ｎ
（當(dāng)型） ｒ＝ｍ／ｎ的余數(shù)
ＷＨＩＬＥ ｒ≠０
ｍ＝ｎ
ｎ＝ｒ
ｒ＝ｍ／ｎ的余數(shù)
ＷＥＮＤ
ＰＲＩＮＴ ｎ
ＥＮＤ
（直到型）
INPUT ｍ，ｎ
ＤＯ ｒ＝ｍ／ｎ的余數(shù)
ｍ＝ｎ
ｎ＝ｒ
ＬＯＯＰ ＵＮＴＩＬ ｒ＝０
ＰＲＩＮＴ ｍ
ＥＮＤ
8、
解：算法：
Ｓ１ 使ｑ＝０，ｒ＝２
Ｓ２ 當(dāng)ｒ≥ｙ時(shí)，重復(fù)下面操作
Ｓ３ ｒ＝ｒ－ｙ
Ｓ４ ｑ＝ｑ＋１
Ｓ５ 輸出ｘ
程序框圖
INPUT ｑ＝０
ｒ＝ｘ
ｙ＝ｙ
ＤＯ ｒ＝ｒ－ｙ
ｑ＝ｑ＋１
ＬＯＯＰ ＵＮＴＩＬ ｒ≥ｙ
ＲＩＩＮＴ ｒ
ＥＮＤ
9、
解：80-36=44，
44-36=8，
36-8=28，
28-8=20，
20-8=12，
12-8=4，
8-4=4。
因此80和36的最大公約數(shù)是4。
向量的加減法運(yùn)算
泗縣三中教案、學(xué)案：向量的加減法運(yùn)算
年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)題向量的加減法運(yùn)算
授時(shí)間撰寫人劉艷宏時(shí)間
學(xué)習(xí)重點(diǎn)用向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個(gè)向量的和與差向量
學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解向量加減法的定義.
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
⑴掌握向量加法的定義
⑵會用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量
⑶理解向量加法的運(yùn)算律
教 學(xué) 過 程
一、自 主 學(xué) 習(xí)
向量的三角形及平行四邊形法則
向量的反向量
向量加法與減法的幾何意義
二、師 生 互動
例1如圖5，O為正六邊形 的中心，試作出下列向量：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5）
例2 在 中， 是重心， 、 、 分別是 、 、 的中點(diǎn)，化簡下列兩式：
練習(xí)。設(shè) ， ， ，試用 表示 .
三、鞏 固 練 習(xí)
1. 平行四邊形 中， ， ，則 等于（ ）.
A. B. C. D.
2. 下列等式不正確的是（ ）.
A. B.
C.
D.
3.在 中， 等于（ ）.
A. B. C. D.
4. = ；
5. 已知向量 、 滿足 且 ，則 = .
6. 在 中， ，則 等于（ ）.
A. B. C. D.
7. 化簡 的結(jié)果等于（ ）.
A. B. C. D.
8. 在正六邊形 中， ， ，則 = .
9. 已知 、 是非零向量，則 時(shí)，應(yīng)滿足條 .
四 后 反 思
五 后 鞏 固 練 習(xí)
1. 已知 是 的對角線 與 的交點(diǎn)，
若 ， ， ，
試證明： .
2. 在菱形 中， ， ，求 的值.
不等式與不等關(guān)系
向量的概念及表示教學(xué)教案 2
一、教學(xué)目標(biāo)
理解向量的概念，掌握向量的幾何表示和字母表示。
了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等特殊向量的概念。
培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力和邏輯思維能力。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：向量的概念、向量的幾何表示和字母表示。
難點(diǎn)：理解向量的概念，區(qū)分向量與數(shù)量的不同。
三、教學(xué)方法
講授法、討論法、演示法。
四、教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
通過實(shí)例引入向量的概念，如力、位移等。
讓學(xué)生思考這些物理量的共同特點(diǎn)，引出向量的概念。
講解向量的概念
向量是既有大小又有方向的量。
與數(shù)量進(jìn)行對比，強(qiáng)調(diào)向量與數(shù)量的不同之處。
向量的幾何表示
用有向線段表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。
演示如何用有向線段表示向量，讓學(xué)生動手畫一些向量的.幾何表示。
向量的字母表示
用小寫字母 a、b、c 等表示向量，手寫時(shí)在字母上方加箭頭。
舉例說明向量的字母表示方法。
特殊向量的概念
零向量：長度為 0 的向量，記作 0。
單位向量：長度為 1 的向量。
平行向量：方向相同或相反的非零向量。
相等向量：長度相等且方向相同的向量。
課堂練習(xí)
讓學(xué)生判斷一些向量是否相等、平行等。
給出一些向量的幾何表示，讓學(xué)生用字母表示出來。
課堂小結(jié)
回顧向量的概念、幾何表示和字母表示。
強(qiáng)調(diào)特殊向量的概念。
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題。
拓展作業(yè)：尋找生活中的向量實(shí)例。
向量的概念及表示教學(xué)教案 3
[教學(xué)目標(biāo)]
一、知識與能力：
理解向量、零向量、單位向量、平行向量的概念：掌握向量的幾何表示，會用字母表示向量；理解相等向量與共線向量的含義.
二、過程與方法：
通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
培養(yǎng)對現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的好奇心，學(xué)習(xí)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題．
[教學(xué)重點(diǎn)]
向量的概念，向量的幾何表示．
[教學(xué)難點(diǎn)]
向量的概念．
[教學(xué)要求]
向量概念的教學(xué)應(yīng)從物理背景和幾何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，幾何背景是有向線段。了解這些物理背景和幾何背景，對于學(xué)生理解向量和運(yùn)用向量解決實(shí)際問題都是十分重要的。
[教學(xué)過程]
一、創(chuàng)設(shè)情境，新課引入
問題1：我們已經(jīng)知道位移是既有大小，又有方向的量。請?jiān)倥e出一些這樣的量．
學(xué)生思考討論，舉出物理學(xué)中既有大小，又有方向的量，例如力，包括重力G、浮力F、拉力F等。
在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，抽象概括出向量的概念：
數(shù)學(xué)中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，沒有方向的量，稱為數(shù)量（或標(biāo)量）。
教師提問，學(xué)生回答，并再次強(qiáng)調(diào)向量的兩要素。有學(xué)生總結(jié)判斷方法。
判定下列各量中哪些是向量：（1）浮力；（2）密度；（3）質(zhì)量；（4）路程；（5）面積；（6）電流強(qiáng)度.
二、師生互動，新課講解：
向量的表示
1．幾何表示：用有向線段表示向量，以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量記作向量，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后。
2．字母表示：印刷體可用黑體小寫字母表示向量，手寫時(shí)寫成帶箭頭的小寫字母，如。
3．圖示表示：
4．向量的模
向量的長度稱為向量的模，如向量的模記作，向量的模記作。
零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作。
單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量。
思考：兩個(gè)向量能否比較大小？兩個(gè)向量的模能否比較大小？
5．平行向量（共線向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量平行，通常記作。
規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量，都有。
例1（課本P75例1）試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示地至兩地的位移，并求出地至兩地的實(shí)際距離（精確到1km）。
變式訓(xùn)練1：
（1）某人東行100米，后轉(zhuǎn)南行米，則這時(shí)他位移的方向是__________.（東偏南）
（2）某人向正東方向走3千米，再向正北方向走4千米，此人走過的路程是________，其位移的長度是___________.（7千米、5千米）
6．相等向量的概念
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
如圖，有向線段表示的向量a與b相等，記作a=b.
任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。平面上，兩個(gè)長度相等且指向一致的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定。
提出問題：怎樣的向量是相等向量？教師演示，讓學(xué)生歸納定義。
7．共線向量
如圖，a,b,c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線l，在l上任取一點(diǎn)O，則可在l上分別作出a，b，c，可見任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量。
例2：
（1）向量和向量，這兩個(gè)向量相等嗎？這兩個(gè)向量的模相等嗎？
（2）用有向線段表示兩個(gè)相等的向量，如果它們的起點(diǎn)相同，那么它們的終點(diǎn)是否相同？
（3）如果，四邊形一定是平行四邊形嗎？
變式訓(xùn)練2：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長度相等且方向相同）
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）
例3：判斷下列說法是否正確，并說明理由：
（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；（V）
（2）長度相等且方向相同的向量叫相等向量；(V)
（3）向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；(x)
（4）若|a|=|b|，則a=b或a=-b；(x)
（5）零向量只有大小沒有方向。(v)
變式訓(xùn)練3：下列各種情況中向量終點(diǎn)各構(gòu)成什么圖形？
（1）把所有單位向量起點(diǎn)平移到同一點(diǎn)；
（2）把平行于某一直線的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一起點(diǎn)；
（3）把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點(diǎn).
解：（1）單位圓；
（2）兩個(gè)點(diǎn)（相距兩個(gè)單位長度）；
（3）構(gòu)成一條直線.
例4（課本P76例2）如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與相等的向量.
解：
變式訓(xùn)練4：下列命題正確的`是（C）
A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線
B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)
C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量
D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
課堂練習(xí)2：課本P77練習(xí)NO：1、2、3
三、課堂小結(jié)，鞏固反思
1．在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動；
2．相等向量：長度（模）相等且方向相同的向量；
3．共線向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量。
四、課時(shí)必記：
1、向量2、零向量、單位向量概念：
3、平行向量：4、相等向量：
5、共線向量與平行向量關(guān)系：
五、分層作業(yè)：
A組：
1、（課本P77習(xí)題2.1 A組NO：1）
2、（課本P77習(xí)題2.1 A組NO：2）
3、（課本P77習(xí)題2.1 A組NO：3）
4、（課本P77習(xí)題2.1 A組NO：4）
5、（課本P77習(xí)題2.1 A組NO：5）
6、（課本P77習(xí)題2.1 A組NO：6）
B組：
1、（課本P77習(xí)題2.1 B組NO：2）
2．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.
①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；（ ）
②單位向量都相等；（ ）
③任一向量與它的相反向量不相等；（ ）
④四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)＝；（ ）
⑤一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；（ ）
⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。（ ）
解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.
②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.
③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的
④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.
3、下列關(guān)于零向量的說法中，錯誤的是（B）。
（A）零向量的長度為零（B）零向量是沒有方向的
（C）零向量的方向是任意的（D）零向量與任一向量平行
4、命題中，不正確的是（D）。
（A）向量的長度與向量的長度相等。
（B）任一非零向量都可以平行移動。
（C）兩個(gè)相等的向量，若它們的起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)也相同。
（D）長度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量。
5、如圖中DE//BC，則下列結(jié)論正確的是（A）。
（A）和共線（B）和共線
（C）和共線（D）和共線
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