線段的垂直平分線教案

時間：2025-11-27 23:06:34 教案

線段的垂直平分線教案

　　作為一名優秀的教育工作者，時常需要用到教案，教案是教學活動的依據，有著重要的地位。那么應當如何寫教案呢？下面是小編收集整理的線段的垂直平分線教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

線段的垂直平分線教案

線段的垂直平分線教案1

　　教學目標

　　1、經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力

　　2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論

　　教學重點和難點

　　重點：線段的垂直平分線性質與逆定理及其的應用

　　難點：線段的垂直平分線的逆定理的理解和證明

　　教學方法觀察實踐法，分組討論法，講練結合法，自主探究法

　　教學手段多媒體課件

　　教學過程設計

　　一、從學生原有的認知結構提出問題

　　這節課，我們來研究線段的垂直平分線的尺規作圖和性質。

　　二、師生共同研究形成概念

　　1、線段垂直平分線的性質

　　1)猜想：我們看看上面我們所作的線段的垂直平分線有什么性質?

　　引導學生自主發現線段垂直平分線的性質。

　　2)想一想書本P24上面

　　應先讓學生自己思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過程。

　　線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等

　　要證明一個圖形上每一點都具有某種性質，只需要在圖形上任取一點作代表。這一思想方法應讓學生理解。

　　3)符號語言

　　∵P在線段AB的垂直平分線CD上

　　∴PA=PB

　　4)定理解釋：

　　P為CD上的任意一點，只要P在CD上，總有PA=PB。

　　5)此定理應用于證明兩條線段相等

　　2鞏固練習

　　1)如圖，已知直線AD是線段AB的垂直平分線，則AB=。

　　2)如圖，AD是線段BC的垂直平分線，AB=5，BD=4，則AC=，CD=，AD=。

　　3)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠AED=50°，則∠B的度數為。

　　2、線段垂直平分線的逆定理

　　1)想一想書本P24想一想

　　教學引入

　　師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行折疊處理。

　　動畫演示：

　　場景一：正方形折疊演示

　　師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板(刻度尺)和圓規，我們來研究正方形的幾何性質—邊、角以及對角線之間的關系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。

　　[學生活動：各自測量。]

　　鼓勵學生將測量結果與鄰近同學進行比較，找出共同點。

　　講授新課

　　找一兩個學生表述其結論，表述是要注意糾正其語言的規范性。

　　動畫演示：

　　場景二：正方形的性質

　　師：這些性質里那些是矩形的性質?

　　[學生活動：尋找矩形性質。]

　　動畫演示：

　　場景三：矩形的性質

　　師：同樣在這些性質里尋找屬于菱形的性質。

　　[學生活動;尋找菱形性質。]

　　動畫演示：

　　場景四：菱形的性質

　　師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質。

　　及時提出問題，引導學生進行思考。

　　師：根據這些性質，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準確的定義?

　　[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]

　　師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。

　　學生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書：

　　“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”

　　“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”

　　“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”

　　[學生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]

　　師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系梳理一下。

　　困為這個命題不是“如果……那么……”的形式，所以學生說出或寫出它的逆命題時可能會有一定的困難幫助學生分析它的條件和結論，再寫出其逆命題，最后應要求學生按證明的格式將證明過程書寫出來。

　　2)猜想：我們說“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”，那么，到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上有什么性質?

　　引導學生自主發現線段垂直平分線的判定。

　　到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

　　3)符號語言

　　∵PA=PB

　　∴P在線段AB的垂直平分線上

　　4)定理解釋

　　只要有PA=PB，則P為CD上的任意一點

　　5)此定理應用于證明一點在某條線段的垂直平分線上

　　2鞏固練習

　　1)已知點A和線段BC，且AB=AC，則點A在。

　　2)如果平面內的點C、D、E到線段AB的兩端點的距離相等，則C、D、E均在線段AB的。

　　3)設是線段AB的垂直平分線，且CA=CB，則點C一定。

　　3、講解例題

　　例1填空：

　　1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線。

　　1)則BD=;

　　2)若∠B=40°，則∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°;

　　3)若AC=4，BC=5，則DA+DC=，△ACD的周長為。

　　2、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE為AB的中垂線，則∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°;若△ABC的周長為16cm，BC=4cm，則AC=，△BCE的周長為。

　　例2如圖，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求△AEC的周長。

　　分析：此題側重于讓學生體會解題過程，培養學生的`邏輯思維。講解時借助細繩，讓學生更好地理解各線段之間的關系。

　　例3已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長是13cm，求△ABC的周長。

　　分析：此題與上例類似，在證明時，要多一步，要說明AC的長度。講解時借助細繩，讓學生更好地理解各線段之間的關系。

　　三、隨堂練習

　　1、書本P26隨堂練習1

　　2、《練習冊》P6

　　3、如圖，已知AB=AC=14cm，AB的垂直平分線交AC于D。

　　1)若△DBC的周長為24cm，則BC=cm;

　　2)若BC=8cm，則△BCD的周長是cm。

　　4、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，△ABC和△DBC的周長分別是60cm和38cm，求AB、BC。

　　5、如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，AE=2cm，求△CDB的周長。

　　四、小結

　　線段的垂直平分線在計算、證明、作圖中都有著重要作用。在前面學習中，有一些用三角形全等的知識來解決問題，現在可用線段垂直平分線的定理及其逆定理來解會更方便些。

　　五、作業

　　書本P27習題1.63

　　六、教學后記

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　　教學環節教學程序教學設想

　　一、創設情景，引入課題有一塊平行四邊形的玻璃塊，假如不小心碰碎了一部分，聰明的技師拿著細繩很快將原來的平行四邊形畫了出來，你知道他用的是什么方法嗎?

　　第一階段感知階段

　　材料是：給出生活實例

　　教法是：觀察討論

　　理由是：創設數學問題情景，產生認知沖突，快速吸引學生注意，立刻置學生于情景中問題里。

　　目的是：(1)讓學生從真實的生活中發現數學;(2)激發學習興趣，引導學生樹立科學的人生觀和價值觀。

　　二、引發思考、提出議題(此環節可分為四步)

　　第一步“憶”——憶平行四邊形的性質：

　　(1)從邊看：兩組對邊分別平行

　　兩組對邊分別相等

　　(2)從角看：兩組對角分別相等

　　四組鄰角互補

　　(3)從對角線看：對角線互相平分

　　第二步“說”——說平行四邊形性質的逆命題

　　(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)

　　(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

　　(3)兩組對角分別相等的四邊形是平形四邊形

　　(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

線段的垂直平分線教案2

　　教學內容：

　　教學目的：

　　1、使學生理解的性質定理及逆定理，掌握這兩個定理的關系并會用這兩個定理解決有關幾何問題。

　　2、了解線段垂直平分線的軌跡問題。

　　3、結合教學內容培養學生的動作思維、形象思維和抽象思維能力。

　　教學重點：

　　性質定理及逆定理的引入證明及運用。

　　教學難點：

　　性質定理及逆定理的關系。

　　教學關鍵：

　　1、垂直平分線上所有的點和線段兩端點的距離相等。

　　2、到線段兩端點的距離相等的所有點都在這條上。

　　教具：投影儀及投影膠片。

　　教學過程：

　　一、提問

　　1、角平分線的性質定理及逆定理是什么？

　　2、怎樣做一條？

　　二、新課

　　1、請同學們在課堂練習本上做線段AB的垂直平分線EF（請一名同學在黑板上做）。

　　2、在EF上任取一點P，連結PA、PB量出PA=？，PB=？引導學生觀察這兩個值有什么關系？

　　通過學生的觀察、分析得出結果PA=PB，再取一點P＇試一試仍然有P＇A=P＇B，引導學生猜想EF上的所有點和點A、點B的距離都相等，再請同學把這一結論敘述成命題（用幻燈展示）。

　　定理：上的點和這條線段的`兩個端點的距離相等。

　　這個命題，是我們通過作圖、觀察、猜想得到的，還得在理論上加以證明是真命題才能做為定理。

　　已知：如圖，直線EF⊥AB，垂足為C，且AC=CB，點P在EF上

　　求證：PA=PB

　　如何證明PA=PB學生分析得出只要證RTΔPCA≌RTΔPCB

　　證明：∵PC⊥AB（已知）

　　∴∠PCA=∠PCB（垂直的定義）

　　在ΔPCA和ΔPCB中

　　∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）

　　即：PA=PB（全等三角形的對應邊相等）。

　　反過來，如果PA=PB，P1A=P1B，點P，P1在什么線上？

　　過P，P1做直線EF交AB于C，可證明ΔPAP1≌PBP1（SSS）

　　∴EF是等腰三角型ΔPAB的頂角平分線

　　∴EF是AB的垂直平分線（等腰三角形三線合一性質）

　　∴P，P1在AB的垂直平分線上，于是得出上述定理的逆定理（啟發學生敘述）（用幻燈展示）。

　　逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條上。

　　根據上述定理和逆定理可以知道：直線MN可以看作和兩點A、B的距離相等的所有點的集合。

　　可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

　　三、舉例（用幻燈展示）

　　例：已知，如圖ΔABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點P，求證：PA=PB=PC。

　　證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上

　　∴PA=PB

　　同理PB=PC

　　∴PA=PB=PC

　　由例題PA=PC知點P在AC的垂直平分線上，所以三角形三邊的垂直平分線交于一點P，這點到三個頂點的距離相等。

　　四、小結

　　正確的運用這兩個定理的關鍵是區別它們的條件與結論，加強證明前的分析，找出證明的途徑。定理的作用是可證明兩條線段相等或點在上。

　　五、練習與作業

　　練習：第87頁1、2

　　作業：第95頁2、3、4

線段的垂直平分線教案3

　　線段的垂直平分線（第二課時）

　　教學目標：

　　1．能夠利用直尺和圓規作已知線段的垂直平分線；已知底邊及底邊上的高，能夠利用直尺和圓規作出等腰三角形。知道為什么這樣做圖，提高熟練地使用直尺和圓規作圖的技能。

　　2．通過探索、猜測、證明的過程，進一步拓展學生的推理證明意識和能力。

　　教學重點：作已知線段的垂直平分線。

　　教學難點：理解三線共點的證明方法。

　　教學過程：

　　引入：

　　剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你發現了什么？當利用尺規作出三角形三條邊的垂直平分線時，你是否也發現了同樣的'結論？

　　定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

　　證明：在△ABC中，設AB、BC的垂直平分線相交于點P，連接AP、BP、CP，

　　∵點P在線段AB的垂直平分線上

　　∴PA=PB（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等）

　　同理：PB=PC

　　∴PA=PC

　　∴點P在AC的垂直平分線上

　　（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）。

　　∴AB，BC，AC的垂直平分線相交于點P。

　　議一議：1、已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個？所作的三角形都全等嗎？（這樣的三角形能作出無數多個，它們不都全等）

　　2、已知等腰三角形底邊及底邊上的高，你能用尺規作出等腰三角形嗎？能作幾個？（滿足條件的等腰三角形可和出兩個，分加位于已知邊的兩側，它們全等）。

　　做一做：

　　已知底邊上的高，求作等腰三角形。

　　已知：線段a、b

　　求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h

線段的垂直平分線教案4

　　線段的垂直平分線（第一課時）

　　教學目標：

　　1．要求學生掌握線段垂直平分線的性質定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些問題。

　　2．能夠證明線段垂直平分線的性質定理及判定定理。

　　3．通過探索、猜測、證明的過程，進一步拓展學生的推理證明意識和能力。

　　教學重點：線段垂直平分線性質定理及其逆定理。

　　教學難點：線段垂直平分線的性質定理及其逆定理的內涵和證明。

　　教學過程：我們曾利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離睛等，你能證明這一結論嗎？

　　一、線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等

　　1．讓學生把準備好的方方正正的紙拿出來，按照下圖的樣子進行對折，并比較對折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的關系。

　　2．讓學生說出他們觀察猜測的結果是什么，肯定他們的發現，引導學生思考：這樣一個結論是比較直觀和明顯的，我們可以說出兩組邊分別是相等的'，但是，我們可以用觀察說服別人嗎?

　　3．給學生留出時間和空間思考如何把猜想變成事實。學生可以討論交流不同的方法。提示學生在證明之前，要把文字語言變成數學語言，根據圖形寫出已知和求證。

　　定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

　　已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一點。

　　求證：PA=PB。

　　證明：∵MN⊥AB，

　　∴∠PCA=∠PCB=90°

　　∵AC=BC，PC=PC

　　∴△PCA≌△PCB（SAS）

　　∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等）

　　想一想，你能寫出上面這個定理的逆合題嗎？

　　它是真命題嗎？如果是請證明．

線段的垂直平分線教案5

　　一．教學時間

　　xxxx年12月10日

　　二．教學班級：初二（6）班

　　三．教學目的

　　1．給學生復習線段垂直平分線的定義和作法。

　　2．給學生復習點與點之間的距離，是指線段的長而不是線段。

　　3．教會學生線段垂直平分線的定理和逆定理的推導方法。

　　4．讓學生充分理解線段垂直平分線的定理和逆定理并能熟練背誦。

　　5．通過多種練習，讓學生學會熟練運用線段垂直平分線的定理和逆定理。

　　6．讓學生明確線段垂直平分線的聯系與區別。

　　過程與方法（流程圖）

　　（１）提出問題（２）討論問題（３）解決問題

　　情感態度價值觀

　　１．通過對舊知識的回顧和運用，讓學生明白，平時應經常復習和鞏固舊知識，做到溫故而知新．

　　２．在學生得出結論的同時讓學生證明，可以讓他們明白任何結論都必須有科學依據，又激發了學生的求知欲和探究欲．

　　３．讓學生自己用語言來描述定理和逆定理時，檢驗了他們的語言表達能力，使他們明白學科之間是相通的．

　　４．在整個學習過程中，學生會深刻體會團體合作的重要性和競爭的快樂．

　　四．教學過程

　　（一）．畫線段AB，畫AB的垂直平分線MN，MN上任意取一點P，連結PA、PB，則PA、PB的長是點P和AB兩個端點A點和B點的距離。

　　教師提問：PA、PB在長度上有怎樣的關系？怎樣證明？

　　學生回答：PA=PB

　　已知：MN是AB的垂直平分線

　　求證：PA=PB

　　證明：∵MN是AB的垂直平分線（已知）

　　∴∠PCA=∠PCB=90?

　　AC=BC（垂直平分線的定義）

　　在△PCA和△PCB中

　　AC=BC(已證)

　　∠PCA=∠PCB(已證)

　　PC=PC(公共邊)

　　∴△PCA≌△PCB(S.A.S)

　　∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等）

　　定理:

　　線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.

　　∵MN是AB的垂直平分線

　　∴PA=PB

　　（二）．畫線段AB和點Q，連結QA、QB，使QA=QB。

　　教師提問：點Q在怎樣的一條線上?

　　學生回答：AB的垂直平分線上

　　已知：QA=QB

　　求證：Q在AB的垂直平分線上

　　證明:

　　過Q作直線MN⊥AB

　　,垂足為C

　　∵QA=QB(已知)

　　∴AC=BC(等腰三角形的三線合一)

　　∴MN是AB的垂直平分線(垂直平分線的定義)

　　∴Q在AB的垂直平分線上

　　逆定理:

　　和一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

　　∵QA=QB

　　∴Q在AB的垂直平分線上

　　（三）．試一試

　　1.如圖,在△ABC中,∠C=90?,ＭＮ是ＡＢ的中垂線.

　　(1)如果MB=10cm,那么MA=_______.

　　(2)如果∠A=35?,那么∠1=

　　(3)如果△MCB的周長為30cm,那么AC+BC=_______.

　　2.如圖，△ABC中，∠C=90?,D為AB的中點，D在線段_________的垂直平分線上。

　　（四）．例1.已知:在△ABC中,ON是AB的垂直平分線,OA=OC.

　　求證:點O在BC的垂直平分線上.

　　證明:連結BO

　　∵ON是AB的.垂直平分線(已知)

　　∴OA=OB(線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等)

　　∵OA=OC(已知)

　　∴OB=OC(等量代換)

　　∴點O在BC的垂直平分線上(和一條線段的兩個端點的距離相等的點,在這條線段的線段的垂直平分線上)

　　（五）．練習

　　1.作圖

　　(1)在直線MN上找出一點P,使PA=PB.

　　(2)找一點P,使它到A｀B｀C三點的距離相等．

　　∴點Ｐ就是所要求作的點．

　　２．已知：如圖，Ｄ是ＢＣ延長線上的一點，ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＣ

　　求證：點Ｃ在ＡＤ的垂直平分線上．

　　３．已知：∠Ｃ＝９０?，ＡＢ的垂直平分線分別交ＡＣ｀ＡＢ于Ｍ｀Ｎ，ＡＭ＝２ＣＭ。

　　求證：∠Ａ＝３０

線段的垂直平分線教案6

　　1、教材分析

　　(1)知識結構

　　(2)重點、難點分析

　　本節內容的重點是線段垂直平分線定理及其逆定理. 定理反映了線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的依據;逆定理反映了線段垂直平分線的判定，是證明某點在某條直線上及一條直線是已知線段的垂直平分線的依據.

　　本節內容的難點是定理及逆定理的關系. 垂直平分線定理和其逆定理，題設與結論正好相反. 學生在應用它們的時候，容易混淆，幫助學生認識定理及其逆定理的區別，這是本節的難點.

　　2、教法建議

　　本節課教學模式主要采用“學生主體性學習”的教學模式. 提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，錯誤原因讓學生說，方法與規律讓學生歸納. 教師的作用在于組織、點撥、引導，促進學生主動探索，積極思考，大膽想象，總結規律，充分發揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人. 具體說明如下：

　　(1)參與探索發現，領略知識形成過程

　　學生前面，學習過線段垂直平分線的概念，這樣由復習概念入手，順其自然提出問題：在垂直平分線上任取一點P，它到線段兩端的距離有何關系?學生會很容易得出“相等”. 然后學生完成證明，找一名學生的證明過程，進行投影總結. 最后，由學生將上述問題，用文字的形式進行歸納，即得線段垂直平分線定理. 這樣讓學生親自動手實踐，積極參與發現，激發了學生的認識沖突，使學生克服思維和探求的惰性，獲得鍛煉機會，對定理的產生過程，真正做到心領神會.

　　(2)采用“類比”的學習方法，獲取逆定理

　　線段垂直平分線的`定理及逆定理的證明都比較簡單，學生學習一般沒有什么困難，這一節的難點仍然的定理及逆定理的關系，為了很好的突破這一難點，教學時采用與角的平分線的性質定理和逆定理對照，類比的方法進行教學，使學生進一步認識這兩個定理的區別和聯系.

　　(3) 通過問題的解決，讓學生學會從不同角度分析問題、解決問題;讓學生學會引申、變更問題，以培養學生發現問題、提出問題的創造性能力.

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