高中圓的方程教案

時間：2025-01-14 10:16:00 教案

高中圓的方程教案

　　作為一位不辭辛勞的人民教師，很有必要精心設計一份教案，編寫教案有利于我們弄通教材內容，進而選擇科學、恰當的教學方法。那么大家知道正規的教案是怎么寫的嗎？下面是小編精心整理的高中圓的方程教案，希望對大家有所幫助。

高中圓的方程教案

高中圓的方程教案1

　　圓的方程定義：

　　圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三個參數a、b、r，即圓心坐標為(a，b)，只要求出a、b、r，這時圓的方程就被確定，因此確定圓方程，須三個獨立條件，其中圓心坐標是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。

　　直線和圓的位置關系：

　　1.直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點,即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組,利用判別式Δ來討論位置關系.

　　①Δ＞0,直線和圓相交.②Δ=0,直線和圓相切.③Δ＜0,直線和圓相離.

　　方法二是幾何的觀點,即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

　　①d＜R,直線和圓相交.②d=R,直線和圓相切.③d＞R,直線和圓相離.

　　2.直線和圓相切,這類問題主要是求圓的'切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況,而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.

　　3.直線和圓相交,這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

　　切線的性質

　　⑴圓心到切線的距離等于圓的半徑；

　　⑵過切點的半徑垂直于切線；

　　⑶經過圓心,與切線垂直的直線必經過切點；

　　⑷經過切點,與切線垂直的直線必經過圓心；

　　當一條直線滿足

　　（1）過圓心；

　　（2）過切點；

　　（3）垂直于切線三個性質中的兩個時,第三個性質也滿足.

　　切線的判定定理

　　經過半徑的外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

　　切線長定理

　　從圓外一點作圓的兩條切線,兩切線長相等,圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角．

　　圓錐曲線性質：

　　一、圓錐曲線的定義

　　1.橢圓：到兩個定點的距離之和等于定長（定長大于兩個定點間的距離）的動點的軌跡叫做橢圓.

　　2.雙曲線：到兩個定點的距離的差的絕對值為定值（定值小于兩個定點的距離）的動點軌跡叫做雙曲線.即.

　　3.圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線.當01時為雙曲線.

　　二、圓錐曲線的方程

　　1.橢圓：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中,a2=b2+c2）

　　2.雙曲線：-=1（a0,b0）或-=1（a0,b0）（其中,c2=a2+b2）

　　3.拋物線：y2=±2px（p0）,x2=±2py（p0）

　　三、圓錐曲線的性質

　　1.橢圓：+=1（ab0）

　　（1）范圍：|x|≤a,|y|≤b（2）頂點：(±a,0),(0,±b)（3）焦點：(±c,0)（4）離心率：e=∈(0,1)（5）準線：x=±

　　2.雙曲線：-=1（a0,b0）（1）范圍：|x|≥a,y∈R（2）頂點：(±a,0)（3）焦點：(±c,0)（4）離心率：e=∈(1,+∞)（5）準線：x=±（6）漸近線：y=±x

　　3.拋物線：y2=2px(p0)（1）范圍：x≥0,y∈R（2）頂點：（0,0）（3）焦點：（,0）（4）離心率：e=1（5）準線：x=-

高中圓的方程教案2

　　一、教材分析：本章在第二章“直線與方程”的基礎上，在直角坐標系中建立圓的方程，并通過圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關系。在直角坐標系中建立幾何對象的方程，并通過方程研究幾何對象，這是研究幾何問題的重要方法，通過坐標系把點與坐標、曲線與方程聯系起來，實現空間形式與數量關系的結合。坐標法是貫穿本章的靈魂，在教學中要讓學生充分的感受體驗。

　　二、教學目標：1．了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法研究幾何問題；掌握圓的標準方程和一般方程，加深對圓的方程的認識。2．能根據給定的直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，能用直線與圓的方程解決一些簡單問題。3．了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置，會用空間兩點間的距離公式。4．通過本節的復習，使學生形成系統的知識結構，掌握幾種重要的數學思想方法，形成一定的分析問題和解決問題的能力。

三、教學重點：解析幾何解題的基本思路和解題方法的形成。

　　教學難點：整理形成本章的知識系統和網絡。

　　四、教學過程：

　　（一）．知識要點：學生閱讀教材的小結部分．

　　（二）．典例解析：

　　1．例1。(1)求經過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x─y─3=0上的圓的方程;

　　(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點的三角形OAB外接圓的方程

　　解：(1)設圓心P(x0,y0),則有,解得x0=4,y0=5,∴半徑r=,∴所求圓的方程為(x─4)2+(y─5)2=10

　　(2)采用一般式,設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將三個已知點的坐標代入列方程組解得：D=─2,E=─4,F=0

　　點評：第(1),(2)兩小題根據情況選擇了不同形式

　　2．例2。設A（－c，0）、B（c，0）（c0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a（a0），求P點的軌跡

　　分析：給曲線建立方程是解析幾何的兩個主要問題之一，其基本方法就是把幾何條件代數化；主要問題之二是根據方程研究曲線的形狀、性質，即用代數的方法研究幾何問題

　　解：設動點P的坐標為（x，y），由=a（a0）得=a，化簡，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0

　　當a=1時，方程化為x=0當a≠1時，方程化為=

　　所以當a=1時，點P的軌跡為y軸；當a≠1時，點P的軌跡是以點（c，0）為圓心||為半徑的圓

　　點評：本題主要考查直線、圓、曲線和方程等基本知識，考查運用解析幾何的方法解決問題的能力，對代數式的運算化簡能力有較高要求同時也考查了分類討論這一數學思想

　　3．例3。已知⊙O的半徑為3，直線l與⊙O相切，一動圓與l相切，并與⊙O相交的公共弦恰為⊙O的直徑，求動圓圓心的軌跡方程

　　分析：問題中的幾何性質十分突出，切線、直徑、垂直、圓心，如何利用這些幾何性質呢？

　　解：取過O點且與l平行的直線為x軸，過O點且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標系

　　設動圓圓心為M（x，y），⊙O與⊙M的公共弦為AB，⊙M與l切于點C，則|MA|=|MC|

　　∵AB為⊙O的直徑，∴MO垂直平分AB于O

　　由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|

　　化簡得x2=6y，這就是動圓圓心的軌跡方程

　　點評：求軌跡的步驟是“建系，設點，找關系式，除瑕點”

　　4．例4。已知圓C的圓心在直線x─y─4=0上,并且通過兩圓C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交點,(1)求圓C的方程;(2)求兩圓C1和C2相交弦的方程

　　解：(1)因為所求的圓過兩已知圓的交點,故設此圓的方程為：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,即(1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,即=0,圓心為(,),由于圓心在直線x─y─4=0上,∴──4=0,解得λ=─1/3

　　所求圓的方程為：x2+y2─6x+2y─3=0(2)將圓C1和圓C2的方程相減得：x+y=0,此即相交弦的方程

　　點評：學會利用圓系的方程解題

　　5．例5。求圓關于直線的對稱圓方程

　　解：圓方程可化為,圓心O(-2,6),半徑為1

　　設對稱圓圓心為，則O‘與O關于直線對稱，因此有解得

　　∴所求圓的方程為

　　點評：圓的對稱問題可以轉化為點(圓心)的對稱問題，由對稱性質知對稱圓半徑相等

　　（三）．課堂小結：本章的知識點主要是實現由形到數的一種轉變，所以在今后的學習中要把握關鍵，尋求規律，掌握方法，要時刻把握好直線于圓的綜合問題、相交及交點等問題的應用以及直線于圓的實際應用。

　　（四）．作業：教材復習參考題

　　五、教后反思:

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　　教學目標：

　　1、知識與技能目標:理解并掌握圓的標準方程，會根據不同條件求圓的標準方程，能從圓的標準方程熟練地寫出它的圓心坐標與半徑。

　　2、過程與方法目標：通過對圓的標準方程的推導及應用，滲透數形結合、待定系數法等數學思想方法，提高學生的觀察、比較、分析、概括等思維能力。

　　3、情感與價值觀目標：通過學生主動參與圓的相關知識的探討和幾何畫板在解與圓有關問題中的`應用，激發學生數學學習的興趣，培養學生的創新精神。

　　教學重點：

　　圓的標準方程的推導及應用。

　　教學難點：

　　利用圓的幾何性質求圓的標準方程。

　　教學方法：

　　本節課采用“誘思探索”的教學方法，借助學生已有的知識引出新知;在概念的形成與深化過程中，以一系列的問題為主線，采用討論式，引導學生主動探究，自己構建新知識;通過層層深入的例題配置，使學生思路逐步開闊，提高解決問題的能力。

　　同時借助多媒體，增強教學的直觀性，有利于滲透數形結合的思想，同時增大課堂容量，提高課堂效率。

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1、提問：初中平面幾何學習的哪些圖形?

　　初中平面幾何中所學是兩個方面的知識：直線形的和曲線形的。在曲線形方面學習的是圓，學習解析幾何以來，已經討論了直線方程，今天我們來研究最簡單、最完美的曲線圓的方程。

　　2、提問：具有什么性質的點的軌跡是圓?

　　強調確定一個圓需要的的條件為：圓心與半徑,它們分別確定了圓的位置與大小，二、概念的形成：

　　1、讓學生根據顯示在屏幕上的圓自己探究圓的方程。

　　教師演示圓的形成過程，讓學生自己探究圓的方程，教師巡視，加強對學生的個別指導，由學生講解思路，根據學生的回答，教師展示學生的想法，將兩種解法同時顯示在屏幕上，方便學生對比。

　　學生通常會有兩種解法：

　　解法1：(圓心不在坐標原點)設M(x,y)是一動點，點M在該圓上的充要條件是|CM|=r。由兩點間的距離公式，得

　　=r。

　　兩邊平方，得

　　(x-a)2+(y-b)2=r2。

　　解法2：(圓心在坐標原點)設M(x,y)是一動點，點M在該圓上的充要條件是|CM|=r。由兩點間的距離公式，得

　　兩邊平方，得

　　x2+y2=r2

　　若學生只有一種做法，教師可引導學生建立不同的坐標系，有自己發現另一個方程。

　　2、圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

　　當a=b=0時，方程為x2+y2=r2

　　三、概念深化：

　　歸納圓的標準方程的特點：

　　①圓的標準方程是一個二元二次方程;

　　②圓的標準方程由三個獨立的條件a、b、r決定;

　　③圓的標準方程給出了圓心的坐標和半徑。

　　四、應用舉例：

　　練習1104頁練習8-91、2(學生口答)

　　練習2說出方程(x+m)2+(y+n)2=a2的圓心與半徑。

　　例1、根據下列條件，求圓的方程：

　　(1)圓心在點C(-2,1)，并且過點A(2，-2);

　　(2)圓心在點C(1,3),并且與直線3x-4y–6=0相切;

　　(3)過點A(2,3),B(4,9),以線段AB為直徑。

　　分析探求：讓學生說出如何作出這些圓，教師用幾何畫板做圖，幫助學生理清解題思路，由學生自己解答，并通過幾何畫板來驗證。

　　例2、求過點A(0,1),B(2,1)且半徑為的圓的方程。

　　分析探求：鼓勵學生一題多解，先讓學生自己求解，再相互討論、交流、補充，最后教師將學生的想法用多媒體進行展示。

　　思路一：利用待定系數法設方程為(x-a)2+(y-b)2=5，將兩點坐標代入，列方程組，求得a,b,再代入圓的方程。

　　思路二：利用圓心在圓上兩點的垂直平分線上這一性質，利用待定系數法設方程為(x-1)2+(y-b)2=5，將一點坐標代入，列方程，求得b,再代入圓的方程。

　　思路三：畫出圓的圖形，利用直角三角形，直接求圓心坐標。

　　由例1、例2總結求圓的標準方程的方法。

　　五、反饋練習：

　　104頁練習8-93(要求學生限時完成)

　　六、歸納總結：

　　學生小結并相互補充，師生共同整理完善。

　　1、圓的標準方程的推導;

　　2、圓的標準方程的形式;

　　3、求圓的方程的方法;

　　4、數學思想。

　　七、課后作業：（略）

　　高一數學圓的一般方程042

　　圓的一般方程

　　三維目標：

　　知識與技能：(1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件．

　　(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數法求圓的方程。

　　(3):培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。

　　過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。

　　情感態度價值觀：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。

　　教學重點：圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間的互化，根據已知條件確定方程中的系數，D、E、F．

　　教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用

　　教具：多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　課題引入：

　　問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。

　　利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。

　　探索研究：

　　請同學們寫出圓的標準方程：

　　(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．

　　把圓的標準方程展開，并整理：

　　x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

　　取得

　　①

　　這個方程是圓的方程．

　　反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？

　　把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得

　　②(配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？

　　(1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；

　　（2）當時，方程只有實數解，即只表示一個點（-，-）;

　　（3）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形

　　綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓

　　只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程

　　我們來看圓的一般方程的特點：(啟發學生歸納)

　　(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．

　　②沒有xy這樣的二次項．

　　(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了．

　　(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。

　　知識應用與解題研究：

　　例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。

　　學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的

　　例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。

　　分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程

　　解：設所求的圓的方程為：

　　∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組，即

　　解此方程組，可得：

　　∴所求圓的方程為：

　　；

　　得圓心坐標為（4，-3）.

　　或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3)

　　學生討論交流，歸納得出使用待定系數法的一般步驟：

　　①、根據提議，選擇標準方程或一般方程；

　　②、根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；

　　③、解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。

　　例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。

　　分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。

　　解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是①

　　上運動，所以點A的坐標滿足方程,即

　　②

　　把①代入②，得

　　課堂練習：

　　小結：

　　1．對方程的討論(什么時候可以表示圓)

　　2．與標準方程的互化

　　3．用待定系數法求圓的方程

　　4．求與圓有關的點的軌跡。

　　課后作業：

　　高一數學圓的一般方程043

　　4.1.2圓的一般方程

　　三維目標：

　　(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數法求圓的方程。

　　(3):培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。

　　過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力。

　　情感態度價值觀：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。

　　教學重點：圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間的互化，根據已知條件確定方程中的系數，D、E、F．

　　教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用

　　教具：多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　課題引入：

　　問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。

　　探索研究：

　　請同學們寫出圓的標準方程：

　　(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．

　　把圓的標準方程展開，并整理：

　　x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

　　取得

　　①

　　這個方程是圓的方程．

　　反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？

　　把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得

　　②(配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？

　　(1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；

　　（2）當時，方程只有實數解，即只表示一個點（-，-）;

　　（3）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形

　　綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓

　　只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程

　　我們來看圓的一般方程的特點：(啟發學生歸納)

　　(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．

　　②沒有xy這樣的二次項．

　　(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了．

　　(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。

　　知識應用與解題研究：

　　例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。

　　學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的

　　例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。

　　分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程

　　解：設所求的圓的方程為：

　　∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組，即

　　解此方程組，可得：

　　∴所求圓的方程為：

　　；

　　得圓心坐標為（4，-3）.

　　或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3)

　　學生討論交流，歸納得出使用待定系數法的一般步驟：

　　①、根據提議，選擇標準方程或一般方程；

　　②、根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；

　　③、解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。

　　例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。

　　解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是①

　　上運動，所以點A的坐標滿足方程,即

　　②

　　把①代入②，得

　　課堂練習：課堂練習第1、2、3題

　　小結：

　　1．對方程的討論(什么時候可以表示圓)

　　2．與標準方程的互化

　　3．用待定系數法求圓的方程

　　4．求與圓有關的點的軌跡。

　　課后作業：習題4.1第2、3、6題

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